(2)
먼저 모든 상황을 알고 있는 사회자가 공개할 문을 어떻게 선택할 지를 생각해 보자. 물론 그는 나의 처음 선택에 따라 그가 어떤 문을 열어 보여 줄지를 달리 결정할 것이다. 내가 선택한 문에 디카가 있든 없든 그는 단번에 내가 선택한 문을 열어 젖히지는 않을 것이다. 또한 내가 선택하지 않은 문 중에서 디카가 있는 문을 열지도 않을 것이다. 즉, 사회자는 내가 어떤 선택을 하더라도 꽝만을 보여줄 것이다.
그래서 내가 선택한 1번 문에 디카가 있다면 사회자는 2, 3문 중의 하나를 열어 보여줄 것이고, 2번 문에 디카가 있다면 내가 선택한 1번 문을 열지는 않을 것이므로 사회자는 3번 문을 열 것이고, 3번 문에 디카가 있다면 사회자는 2번 문을 열 것이다. 우리의 문제 상황처럼 사회자가 3번의 문을 여는 경우는 두가지다.
(a) 1번 문에 디카가 있고 사회자가 3번 문을 연다.
(b) 2번 문에 디카가 있고 사회자가 3번 문을 연다.
Pr(a) = 1/3 x 1/2 =1/6 (1/2은 사회자가 2,3번 두 문 중 하나를 열기때문)
Pr(b) = 1/3 X 1 = 1/3 (1 은 사회자가 3번 문을 열 수 밖에 없므로 즉, 하나 중에 하나선택)
(a)보다 (b)의 확률이 높고 높은 확률의 선택이 합리적이므로
1번 문에서 2번 문으로 선택을 바꾼다.
(2')
(2)의 풀이에서 나머지 가능한 경우의 확률도 구해서 더하면 1이 됩니다. (1)의 풀이보다는 쉬운 풀이입니다. 문제자체가 확률적 접근을 할 수 밖에 없기때문에 이 정도의 풀이라면 일상적인 표현의 풀이 정도라고 생각해도 될 것 같습니다. 그리고 우리 수강생들 중에서도 이런 접근을 보여준 학생들이 있는데 그 중 쓰여진 숫자의 출처가 분명하지 않은 답안은 베스트에서 제외시켰습니다.
* 퀴즈을 정리하며
(1) 대다수의 학생들이 이 문제를 사회자와의 심리전으로 생각하여 선택을 바꾸지 말아야 한다고 답을 했습니다.(인터넷에 떠도는 표현을 빌리자면 다들 사회자의 익살맞은 표정에 낚였습니다.) 아래와 같은 재미있는 답변을 읽는다면 바꾸지 말아야 한다고 결론내리는 심리전 양상은 성립되지 않을 수 있을 것입니다.
"나의 경우라면 2번 문을 택할 것이다. 왜냐하면 내가 1번 문을 열었을때 사회자가 3번 문을 열어 꽝인것을 알린 후 익살맞은 표정으로 보여준 것을 보면 마음을 흔들어 놓으려고 일부러 그런 것인데 그러면 다시 1번에서 2번으로 바꾸고 싶어진다. 하지만 사회자의 입장에서 보면 대개의 사람들은 2번으로 바꾸려다가 혹시라도 함정일까봐 1번문을 선택하게 되는 마음을 알고 2번을 선택하지 못하게 하려 그런 것일 수 있다. 사회자는 같은 게임쇼를 맡고 있는 사람의 입장으로서 선물을 안 주는 것이 좋기때문(이익)이다. 그러므로 2번을 선택할 것이다"
(2) 또한 많은 학생들이 사회자가 3번문을 열었을 때 선택지의 확률이 변화한다는 것을 생각했습니다. 즉 처음의 1번 문을 선택했을 때 당첨확률이 1/3이었으나 3번이 꽝임을 확인한 후에는 선택지가 2개로 줄면서 1번의 당첨 확률이 1/2이라고 생각했습니다.(물론 이것은 조건부확률을 고려하지 못한 잘못된 생각이지만) 그러면서도 낙장불입의 정신을 발휘하여 선택을 바꾸지 않았는데 의문은 과연 확률이 동일할때 왜 첫번째 선택(1번 문)을 고수해야 하는가입니다.
(3) 또 다른 답변 중에는, 사회자가 꽝인 문을 열었을때 각 경우의 확률 조정을 인정하고 꽝인 3번 문이 처음에 가졌던 확률 1/3을 어떻게 분산시킬 것인가를 고민한 답변이 있었습니다. 위의 경우처럼 각각 1/2로 공평하게 분산한 경우도 있지만 1번 문에 그대로 덧붙여 1번 문의 확률을 2/3로 만들거나, 2번 문의 확률을 2/3로 만들었습니다. 문제는 왜 그래야 하는가에 대한 설명이 필요하다는 점입니다.
*
이 문제는 한때 수학자들 사이에서도 논쟁이 있었던 문제로 짧은 시간에 풀 수 있는 쉬운 문제는 아닙니다. 개인적으로 이 문제와 관련해 흥미로운 점을 발견했는데, 이것은 나중에 기회가 되면 이야기해 보도록 하죠. 다음 퀴즈는 재미있고 수업내용과 관련있으면서 좀 더 쉬운 문제로 선보이도록 하죠. 마지막으로 논증개념을 이해하지 못한 친구들이 소수 있었는데 찾아보시길.
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* 베스트 답변자
5,6교시 없음
7,8교시 07 윤형준
* 정답풀이
(1)
처음에 1번 문을 선택했을 때 디카를 갖게될 확률은 1/3이고,
진행자가 꽝인 3번 문을 공개한 후에 1번 문을 고수했을 때 디카를 갖게 될 확률은 1/3이다. (A)
주어진 상황 하에서 모든 확률을 더한 값은 항상 1이므로
진행자가 3번 문을 공개한 후에 1번 문을 고수하여 디카를 갖게 될 확률이 1/3이라면
2번 문을 선택하여 디카를 갖게 될 확률은 2/3이다.
확률이 높은 쪽을 선택하는 것이 합리적이므로
따라서 선택을 바꾸어야 한다.
(B) 진행자가 꽝인 3번 문을 공개했을 때 1번 문을 고수하여 디카를 갖게 될 확률이 왜 1/3인가?
이것은 단순히 1번문에 디카가 있을 확률과는 다르다. Pr(1번문에 디카가 있다) =1/3
진행자가 꽝인 3번문을 공개했다는 조건이 덧붙여져 있기 때문이다.
말하자면 이것은 진행자가 꽝인 3번 문을 공개했다는 조건하에서 1번문에 디카가 있을 확률, 즉 조건부 확률이다. 오래전에 수학시간에 배웠던 것에 대한 기억을 더듬으면,
Pr(1번문디/3번꽝)
(3번꽝/1번문디) X Pr(1번문디)
= ------------------------------
Pr(3번꽝)
(3번꽝/1번문디) X Pr(1번문디)
= ------------------------------
Pr(1번문디&3번꽝 또는 2문디&3문꽝 또는 3문디&3문꽝)
1/2 X 1/3
= ------------------------------
(1/2 X 1/3) + (1X 1/3 ) + ( 0 X1/3)
= 1/3
(1")
위의 정답풀이 (1)에서 (B)의 풀이는 (A)자리에 있어야 하지만 간결함을 위해 아래로 뺐다.
여기까지 읽고 나면 당혹스럽다. 정녕 이 문제를 풀기 위해 내가 조건부 확률의 개념 뿐만 아니라 그것의 계산법도 알아야 했단 말인가? 대개 모든 확률을 더한 값이 1이라든가 3개 중 하나를 선택하면 그 확률이 1/3이라는 정도는 알고 있지만 말이다.
우리 수강생들 중에서도 1번을 고수할때 1/3, 바꿀때 2/3의 확률을 갖는다고 말한 학생들이 있었지만, 문제는 그것이 왜 1/3이고 2/3인지에 대한 설명이 없다는 것이다.(고로 베스트로 뽑지 않음) 위에 수식을 수식없는 일상적 표현으로 설명할 수는 없을까? 또는 조건부 확률없이 조금 더 일상적인 표현으로 바꾸어 설명할 수는 없을까?
(2)
밥먹은 후에 계속.. |
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